Analisis Pengukuran Fisis (Catatan UTS)

UTS 2015
1. Hitung nilai terbaik dan ralat dari R1 // R2 // R3 jika R1=(120+6)Ω; R2=(160+8)Ω, dan R3=(60+5)Ω
Jawab:
Pengukuran tak langsung berulang kali

Cara I:
R1=(120+6)Ω; R2=(160+8)Ω; R3=(60+5)Ω
Rp = (Rp) ̅ + Δ (Rp) ̅
misal:
Ra = R1 // R2 dan Rp = Ra // R3
Ra = (Ra) ̅ + Δ (Ra) ̅

(Ra) ̅ = ((R1) ̅ .(R2) ̅)/((R1) ̅+(R2) ̅ ) = 120.160/(120+160) = 68,571428571428 Ω

Δ (Ra) ̅ = √(〖(∂Ra/∂R1.∆(R1) ̅)〗^2+〖(∂Ra/∂R2.∆(R2) ̅)〗^2 )
= √(〖((∂((R1 .R2)/(R1+R2)))/∂R1.∆(R1) ̅)〗^2+〖((∂((R1 .R2)/(R1+R2)))/∂R2.∆(R2) ̅)〗^2 )

misal u = R1R2 dan v = R1+R2

〖((∂((R1 .R2)/(R1+R2)))/∂R1.∆(R1) ̅)〗^2 = 〖((({∂(R1R2)}.(R1+R2)-(R1R2).{∂(R1+R2)})/((〖R1+R2)〗^2 ))/∂R1〗^ .∆(R1) ̅)2
= 〖(((1.(R2) ̅).((R1) ̅+(R2) ̅ )-((R1) ̅(R2) ̅ ).(1+0))/((〖(R1) ̅+(R2) ̅)〗^2 )〗^ .∆(R1) ̅)2
= 〖(((R2) ̅.(R2) ̅+(R2) ̅^2-(R1) ̅(R2) ̅)/((〖(R1) ̅+(R2) ̅)〗^2 )〗^ .∆(R1) ̅)2
= 〖((R2) ̅^2/((〖(R1) ̅+(R2) ̅)〗^2 )〗^ .∆(R1) ̅)2

Δ (Ra) ̅ = √(〖〖((R2) ̅^2/((〖(R1) ̅+(R2) ̅)〗^2 )〗^ .∆(R1) ̅)〗^2+〖〖((R1) ̅^2/((〖(R1) ̅+(R2) ̅)〗^2 )〗^ .∆(R2) ̅)〗^2 )
= √(〖〖(〖160〗^2/((〖120+160)〗^2 )〗^ .6)〗^2+〖〖(〖120〗^2/((〖120+160)〗^2 )〗^ .8)〗^2 )

= √(〖〖(153600/78400〗^ )〗^2+〖〖(115200/78400〗^ )〗^2 )

= √(3,838400666389+〖〖2,159100374844〗^ 〗^ )
= √5,997501041233 = 2,448979591836

Rp = Ra // R3
Rp = (Rp) ̅ + Δ (Rp) ̅

(Rp) ̅ = ((Ra) ̅ .(R3) ̅)/((Ra) ̅+(R3) ̅ ) = (68,571428571428 . 60)/(68,571428571428 + 60) = 32 Ω
Δ (Rp) ̅ = √(〖〖((R3) ̅^2/((〖(Ra) ̅+(R3) ̅)〗^2 )〗^ .∆(Ra) ̅)〗^2+〖〖((Ra) ̅^2/((〖(Ra) ̅+(R3) ̅)〗^2 )〗^ .∆(R3) ̅)〗^2 )
= √(█(〖〖(〖60〗^2/((〖68,571428571428 + 60)〗^2 )〗^ .2,448979591836)〗^2@+〖〖(〖 68,571428571428〗^2/((〖68,571428571428 + 60)〗^2 )〗^ .5)〗^2 ))

= √(〖〖(8816,3265306096/16530,6122448978〗^ )〗^2+〖〖(23510,204081632/16530,6122448978〗^ )〗^2 )
= √(0,28444444444+〖〖2,02271604938〗^ 〗^ )
= √2,30716049382 = 1,518933999165

Rp = (Rp) ̅ + Δ (Rp) ̅ = (32 + 2) Ω

Cara II:
R1=(120+6)Ω; R2=(160+8)Ω; R3=(60+5)Ω
Rp = 1/(1/R1+1/R2+1/R3)
Misal: u=R1-1 = 1/120 ; v=R2-1 = 1/160 ; w=R3-1 =1/60; x = u+v+w= Rp-1

Rp = (Rp) ̅ + Δ (Rp) ̅
(Rp) ̅ = 1/(u ̅+v ̅+w ̅ ) = 1/(1/120+1/160+1/60) = 32 Ω

u=R1-1
(∆u ̅)/u ̅ = |(-1.∆(R1) ̅)/(R1) ̅ |  Δ u ̅ = (∆(R1) ̅)/(R1) ̅ . u ̅ = 6/120. 1/120 = 6/(1〖20〗^2 )
v=R2-1
(∆v ̅)/v ̅ = |(-1.∆(R2) ̅)/(R2) ̅ |  Δ v ̅ = (∆(R2) ̅)/(R2) ̅ . v ̅ = 8/160. 1/160 = 8/(1〖60〗^2 )
w=R3-1
(∆w ̅)/w ̅ = |(-1.∆(R3) ̅)/(R3) ̅ |  Δ w ̅ = (∆(R3) ̅)/(R3) ̅ . w ̅ = 5/60. 1/60 = 5/〖60〗^2

x ̅= 1/(Rp) ̅=1/32
∆x ̅=√((∆〖u ̅)〗^2+(∆〖v ̅)〗^2+(∆〖w ̅)〗^2 )
=√((〖6/(1〖20〗^2 ))〗^2+(〖8/(1〖60〗^2 ))〗^2+(〖5/〖60〗^2 )〗^2 )
=√(0,000000173611+0,000000097656+0,000001929012)
= 0,001483333745

Δ (Rp) ̅ = (∆x ̅)/x ̅ . (Rp) ̅= 0,001483333745/(1/32) . 32 = 1,51893375488
Rp = (Rp) ̅ + Δ (Rp) ̅ = (32 + 2) Ω

2. Seorang mahasiswa melakukan eksperimen untuk menghitung percepatan gravitasi bumi di tempat percobaan menggunakan ayunan matematis dengan rumus g = 4π2LT-2 dan data L=(51,2 + 0,5) cm, T=(1,44 + 0,05)s.
Jawab:
Misal: pengukuran tak langsung 1 kali
g=( g) ̅ + Δg ̅
g ̅ = 4π2L ̅T ̅-2 = 4π2. 51,2 . 1,44-2 =974,775743
Δ g ̅ = | ∂g/∂T.∆T ̅ | + | ∂g/∂L.∆L ̅ |
= | (∂〖4π〗^2 LT^(-2))/∂T.∆T ̅ | + | (∂〖4π〗^2 LT^(-2))/∂L.∆L ̅ |
= | 〖4π〗^2 L ̅-2T ̅^(-3) ∆T ̅ | + | 〖4π〗^2 T ̅^(-2) ∆L ̅ |
= 〖8π〗^2 L ̅T ̅^(-3) ∆T ̅ + 〖4π〗^2 T ̅^(-2) ∆L ̅
= 〖8π〗^2 .51,2 .〖1,44〗^(-3) 0,05 + 〖4π〗^2 〖.1,44〗^(-2).0,5
= 77,212054
g = g ̅ + Δ g ̅ = (970 + 80) cm/s2

Misal: pengukuran tak langsung berulang kali
g=( g) ̅ + Δg ̅
g ̅ = 4π2L ̅T ̅-2 = 4π2. 51,2 . 1,44-2 =974,775743
Δ g ̅ = √(〖(∂g/∂T.∆T ̅)〗^2+〖(∂g/∂L.∆L ̅)〗^2 )
Δ g ̅ = √(〖((∂〖4π〗^2 LT^(-2))/∂T.∆T ̅)〗^2+〖((∂〖4π〗^2 LT^(-2))/∂L.∆L ̅)〗^2 )
Δ g ̅ = √(〖(〖4π〗^2 L ̅-2T ̅^(-3) ∆T ̅)〗^2+〖(〖4π〗^2 T ̅^(-2) ∆L ̅)〗^2 )
=√(〖(〖4π〗^2.51,2.-2〖.1,44〗^(-3).0,05)〗^2+〖(〖4π〗^2.〖1,44〗^(-2).0,5)〗^2 )
= 68,358808615
g = g ̅ + Δ g ̅ = (970 + 70) cm/s2

3. Laporkan hasil pengukuran diameter sebuah silinder yang diukur di tempat-tempat yang berbeda dengan data (dalam mm): 126; 126; 129; 131; 128; 127;126;125;128;132;121;127;122;129;128
Jawab:
x ̅ = 127
Δ x ̅ =√((∑▒〖∆Xi〗^2 )/(n(n-1))) =(σ(n-1))/√n = 0,755928946
x = x ̅ + Δ x ̅ = (127,0 + 0,8)mm

UTS 2014
1. Dari data xi (i dari 1 sampai dengan n), i adalah nomor langkah
xi adalah data ukur ke-i,
xt adalah nilai terbaik dari seluruh data,
δxi = xi – xt.
a. Hitunglah xt dengan menggunakan syarat Σ δxi2 harus minimum
b. Buktikan bahwa Σ δxi = 0
Jawab:
a. Σ δxi2 = ∑_(i=1)^n▒〖(x_i-x_t)〗^2 = ∑_(i=1)^n▒〖〖(x_i)〗^2-2〗 x_t ∑_(i=1)^n▒〖x_i+nx_t〗^2
agar minimum  ∂/(∂x_t ) (Σ δxi2) = 0
∂/(∂x_t ) (∑_(i=1)^n▒〖〖(x_i)〗^2-2〗 x_t ∑_(i=1)^n▒〖x_i+nx_t〗^2 ) = 0
0-2∑_(i=1)^n▒〖x_i+2nx_t〗^ = 0

x_t=(∑_(i=1)^n▒〖x_i〗^ )/n
b. ∑_(i=1)^n▒〖〖δx〗_i〗^ = 0
Σ(xi-xt) = 0  Σ xi-nxt = 0  Σxi-n(Σxi/n)= 0  Σ xi – Σ xi = 0
2. Seorang mahasiswa melakukan eksperimen untuk menghitung percepatan gravitasi bumi di tempat percobaan menggunakan ayunan matematis dan rumus g = 4π2LT-2 dan memperoleh data tabel.

i Li(cm) Ti(s) gi(cm/s2)
1 51,2 1,438 977,4891052
2 59,7 1,556 973,4527639
3 68,2 1,661 975,8989404
4 79,7 1,780 993,0658639
5 88,3 1,896 969,7142425

Dengan menggunakan program standard deviation dan data dari kolom gi
a. Hitunglah deviasi standar nilai-nilai
b. Hitunglah deviasi standar nilai rata-rata
c. Hitunglah nilai rata-rata
d. Laporkan hasil pengukuran percepatan gravitasi

Jawab:
a. SD = σ(n-1) = 8,957651897
b. SDOM = √((∑▒〖∆Xi〗^2 )/(n(n-1))) =(σ(n-1))/√n = 4,005983712
c. g ̅= 977,9241832
d. g = g ̅ + Δ g ̅ = (978 + 4) cm/s2

3. Hitunglah x = (u+2) / {u+cos(4θ)} jika u = 10,01 + 0,02 ; θ = (40+3)o
Jawab:
Misal: pengukuran tak langsung 1x
misal: a = u+2 ; b=u+cos(4θ)
a = u+2  a ̅ = u ̅+2 = 10,01 + 2 = 12,01
a = a ̅ + Δ a ̅ = 12,01 + 0,02

b=u+cos(4θ)  b ̅=u ̅+cos(4θ ̅)
b ̅=10,01+cos(4(40o))
=10,01+cos 160o
=10,01+(-0,9396926208)
=9,070307379

Δ b ̅ = | ∂b/∂u.∆u ̅ | + | ∂b/∂θ.∆θ ̅ |
= | (∂(u+cos(4θ))/∂u.∆u ̅ | + | (∂(u+cos(4θ)))/∂θ.∆θ ̅ |
= | Δ u ̅ | + | -4 sin 4θ .∆θ ̅ |
= 0,02 + | -4 (0,3420201433) (π/〖180〗^o .)3o
= 0,02 + 0,07159621667
= 0,09159621667
x=a/b  x ̅=a ̅/b ̅ = 12,01/9,070307379 = 1,324100661440
Δx ̅ = x ̅ (|(Δ a ̅)/a ̅ |+|(Δ b ̅)/b ̅ |)
= a ̅/b ̅ (|(Δ a ̅)/a ̅ |+|(Δ b ̅)/b ̅ |)
= 12,01/9,070307379 (|0,02/12,01|+|0,09159621667/9,070307379|)
= 0,015576386243
x = x ̅ + Δ x ̅ = 1,32 + 0,02

Misal: pengukuran tak langsung berulang kali (Cuma beda Δ x ̅)

Δx ̅ = x ̅ √(〖((Δ a ̅)/a ̅ )〗^2+〖((Δ b ̅)/b ̅ )〗^2 )
= a ̅/b ̅ √(〖((Δ a ̅)/a ̅ )〗^2+〖((Δ b ̅)/b ̅ )〗^2 )
= 12,01/9,070307379 √(〖(0,02/12,01)〗^2+〖(0,09159621667/9,070307379)〗^2 )
= 0,013551976366
x = x ̅ + Δ x ̅ = 1,324 + 0,014

UTS 2013
1. Dengan mengingat rumus luas lingkaran berjari-jari R adalah πR2, hitunglah luas juring lingkaran berjari-jari R = (100+3) cm dan bersudut θ=(30,0o+0,1o) jika R dan θ diukur berulang-ulang.
Jawab:
L = L ̅ + Δ L ̅
L = θ/〖360〗^o πR2  L ̅ = θ ̅/〖360〗^o πR ̅2 = 〖30〗^o/〖360〗^o π〖.100〗^2 = 2617,993878
Δ L ̅ = √(〖(∂L/∂θ.∆θ ̅)〗^2+〖(∂L/∂R.∆R ̅)〗^2 )
Δ L ̅ = √(〖((∂(θ/〖360〗^o πR^2))/∂θ.∆θ ̅)〗^2+〖((∂(θ/〖360〗^o πR^2))/∂R.∆R ̅)〗^2 )
Δ L ̅ = √(〖(1/〖360〗^o πR ̅^2.∆θ ̅)〗^2+〖(θ ̅/〖360〗^o π2R ̅^ .∆R ̅)〗^2 )
Δ L ̅ = √(〖(1/〖360〗^o π〖.100〗^2.〖0,1〗^o)〗^2+〖(〖30〗^o/〖360〗^o π.2.〖100〗^ .3)〗^2 )
Δ L ̅ = √(76,1543549+24674,011) = 157,3218528

L = L ̅ + Δ L ̅ = (2600 + 200) cm

2. Hitung nilai terbaik dan ralat dari R1//R2//R3//R4 dengan R1=(48+4)Ω; R2=(30+5)Ω, R3=(80+8)Ω dan R4=(60+6)Ω. Pengukuran
dilakukan satu kali
Jawab:
Misal: Ra = R1//R2 ; Rb = R3//R4
(Ra) ̅ = ((R1) ̅ .(R2) ̅)/((R1) ̅+(R2) ̅ ) = 48.30/(48+30) = 18,46153846 Ω
(Rb) ̅ = ((R3) ̅ .(R4) ̅)/((R3) ̅+(R4) ̅ ) = 80.60/(80+60) = 34,28571429 Ω

Δ (Ra) ̅ = | ∂Ra/∂R1.∆(R1) ̅ | + | ∂Ra/∂R2.∆(R2) ̅ |
(dengan persamaan yg di “kotak” jadi: )
Δ (Ra) ̅ = | 〖(R2) ̅^2/((〖(R1) ̅+(R2) ̅)〗^2 )〗^ .∆(R1) ̅ | + | 〖(R1) ̅^2/((〖(R1) ̅+(R2) ̅)〗^2 )〗^ .∆(R2) ̅ |
Δ (Ra) ̅ = | 〖〖30〗^2/((〖48+30)〗^2 )〗^ .4 | + | 〖〖48〗^2/((〖48+30)〗^2 )〗^ .5 |
Δ (Ra) ̅ = | 〖3600/6084〗^ | + | 〖11520/6084〗^ |
Δ (Ra) ̅ = 0,591715976 + 1,893491124 = 2,4852071

Δ (Rb) ̅ = | ∂Rb/∂R3.∆(R3) ̅ | + | ∂Rb/∂R4.∆(R4) ̅ |
(dengan persamaan yg di “kotak” jadi: )
Δ (Rb) ̅ = | 〖(R4) ̅^2/((〖(R3) ̅+(R4) ̅)〗^2 )〗^ .∆(R3) ̅ | + | 〖(R3) ̅^2/((〖(R3) ̅+(R4) ̅)〗^2 )〗^ .∆(R4) ̅ |
Δ (Rb) ̅ = | 〖〖60〗^2/((〖80+60)〗^2 )〗^ .8 | + | 〖〖80〗^2/((〖80+60)〗^2 )〗^ .6 |
Δ (Rb) ̅ = | 〖28800/19600〗^ | + | 〖38400/19600〗^ |
Δ (Rb) ̅ = 1,468387755 + 1,959183673 = 3,428571428

Rp = Ra//Rb
(Rp) ̅ = ((Ra) ̅ .(Rb) ̅)/((Ra) ̅+(Rb) ̅ ) = (18,46153846 .34,28571429)/(18,46153846+34,28571429) = 12 Ω
Δ (Rp) ̅ = | ∂Rp/∂Ra.∆(Ra) ̅ | + | ∂Rp/∂Rb.∆(Rb) ̅ |
(dengan persamaan yg di “kotak” jadi: )
Δ (Rp) ̅ = | 〖(Rb) ̅^2/((〖(Ra) ̅+(Rb) ̅)〗^2 )〗^ .∆(Ra) ̅ | + | 〖(Ra) ̅^2/((〖(Ra) ̅+(Rb) ̅)〗^2 )〗^ .∆(Rb) ̅ |
Δ (Rp) ̅ = | 〖〖34,28571429 〗^2/((〖52,74725275)〗^2 )〗^ .2,4852071 | +
| 〖〖18,46153846〗^2/((〖52,74725275)〗^2 )〗^ .3,428571428 |
Δ (Rp) ̅ = 1,05 + 0,42 = 1,47

Rp = (Rp) ̅ + Δ (Rp) ̅ = (52,7 + 1,5) Ω

3. Gunakan program SD untuk
a. menghitung deviasi standar RMS
b. menghitung deviasi standar nilai-nilai
c. menghitung deviasi standar nilai terbaik
d. melaporkan nilai terbaik dan ralat dari pengukuran berulang sebuah resistor (dalam Ω) dengan data sebagai berikut :
32;33;34;35;35;36;36;37;37;36;36;35;35;34;33;32
Jawab:
a. SDOM = √((∑▒〖∆Xi〗^2 )/(n(n-1))) =(σ(n-1))/√n =0,403112887
b. SD = σ(n-1) = 1,61245155
c. R ̅ = 34,75
d. R = R ̅ + Δ R ̅ = (34,8 + 0,4) Ω

UTS 2010
1. Hitung nilai terbaik dan ketidaktepatan nilai terbaik dari data:
65,61,63,63,62,63,62,61,65.
Jawab:
x ̅ = 62,77777778
Δ x ̅ =√((∑▒〖∆Xi〗^2 )/(n(n-1))) =(σ(n-1))/√n = 0,493788578
x = x ̅ + Δ x ̅ = (62,8 + 0,5)

2. Hitung nilai terbaik dan ketidaktepatan nilai terbaik dari persamaan x=u(w2+z)/v jika u=0,200 + 0,006, v = 2,0 + 0,1 , w = 100 + 1 dan z = 50 + 2
Jawab:

x=u(w2+z) / v
misal: a = (w2 + z)
x = (u.a)/v = u.a.v-1
Δx ̅ = x ̅ √(〖((Δ u ̅)/u ̅ )〗^2+〖((Δ a ̅)/a ̅ )〗^2+〖((Δ v ̅)/v ̅ )〗^2 )
a = (w2 + z)  a ̅ = (w ̅2 + z ̅) = (100)2 + 50 = 10050
Δ a ̅ = √(〖(∂a/∂w.∆w ̅)〗^2+〖(∂a/∂z.∆z ̅)〗^2 )
= √(〖((∂(w^2 + z) )/∂w.∆w ̅)〗^2+〖((∂(w^2 + z) )/∂z.∆z ̅)〗^2 )
= √(〖(((∂w^2)/∂w+∂z/∂w).∆w ̅)〗^2+〖(((∂w^2)/∂z+∂z/∂z).∆z ̅)〗^2 )
= √(〖((2w ̅+0).∆w ̅)〗^2+〖((0+1).∆z ̅)〗^2 )
= √(〖(2w ̅.∆w ̅)〗^2+〖(∆z ̅)〗^2 )
= √(〖(2(100).1)〗^2+〖(2)〗^2 ) = 200,0099995

x = x ̅ + Δ x ̅
x = (u ̅.a ̅)/v ̅ = (0,2 . 10050)/2 =1005
Δx ̅ = 1005 √(〖(0,006/0,2)〗^2+〖(200,0099995/10050)〗^2+〖(0,1/2)〗^2 )
= 61,9199887
x = x ̅ + Δ x ̅ = (1000 + 60)

3. Hitung indeks bias gelas (n) dan ralatnya jika diukur menggunakan sinar datang dari udara menuju gelas dan rumusnya n=sin i/sin r
sudut datang i = 30o + 1o dan sudut bias r = 19o + 1o
Jawab:
n=sin i/sin r  n ̅ = sin i ̅ / sin r ̅ = sin(30o) / sin(19o) = 1,535776743378
misal:
a=sin i ; b = sin r
a ̅=sin(30o) = 0,5
∂a/∂i = cos i  Δa ̅= cos i ̅ . Δi ̅ = cos 30o . 1o . π/〖180〗^o = 0,0151149947
b=sin r
b ̅=sin(19o) = 0,325568154457
∂b/∂r = cos r  Δb ̅= cos r ̅ . Δr ̅ = cos 19o . 1o . π/〖180〗^o = 0,01650241228
n = a/b 〖((Δ n ̅)/n ̅ )〗^ = √(〖((Δ a ̅)/a ̅ )〗^2+〖((Δ b ̅)/b ̅ )〗^2 )  Δ n ̅=n ̅√(〖((Δ a ̅)/a ̅ )〗^2+〖((Δ b ̅)/b ̅ )〗^2 )
= 1,535776743378√(〖(0,0151149947/0,5)〗^2+〖(0,01650241228/0,325568154457)〗^2 )
= 0,09063854385
n = n ̅ + Δ n ̅ = (1,53 + 0,09)

Materi
Laporan hasil pengukuran: x = x ̅ + Δ x ̅
x = besaran yang diukur
x ̅= nilai terbaik
Δ x ̅= ketidakpastian nilai terbaik
Δ x ̅ harus dalam 1 angka berarti kecuali jika 1. Kalau 1 harus diikuti 1 angka lagi di belakangnya
Aturan pembulatan:
Digit paling belakang  5 dibulatkan ke bawah, contoh 0,54 menjadi 0,5 ;
Digit paling belakang = 5 dibulatkan menjadi genap terdekat, contoh: 0,55 menjadi 0,6 ; 0,45 menjadi 0,4 ;
Digit paling belakang  5 dibulatkan ke atas, contoh 0,56 menjadi 0,6
Contoh:
(1,5432 + 1)  (2 + 1)
(3,323 + 1,4)  (3,3 + 1,4)
(-321 x 10-19 + 2,67 x 10-20)  (-32 + 3) x 10-20
(3,267 x 103 + 42)  3270 + 40
(0,000000563 + 0,00000007)  (56 + 7) x 10-8

Pengukuran:
1. Langsung
a. 1x  meter analog  x ̅ = nilai baca
Δ x ̅= 0,5 skala terkecil (jika sempit)
Δ x ̅= 0,1 skala terkecil (jika lebar)
 meter digital  x ̅ = nilai baca
Δ x ̅= 0,5 bobot digit terakhir
nx  x ̅ = nilai rata-rata
Δ x ̅= SDOM = √((∑▒〖(∆Xi)〗^2 )/(n(n-1))) =(σ(n-1))/√n
2. Tak langsung
a. 1x  x ̅= f(u ̅,v ̅)
Δ x ̅= | ∂f/∂u.∆u ̅ | + | ∂f/∂v.∆v ̅ |
b. nx  x ̅= f(u ̅,v ̅)
Δ x ̅=√(〖(∂f/∂u.∆u ̅)〗^2+〖(∂f/∂R2.∆u ̅)〗^2 )

x=u+v x ̅ =u ̅+v ̅ Δ x ̅= |Δ(u|) ̅+|Δv ̅|
x=u-v x ̅ =u ̅-v ̅ Δ x ̅= |Δ(u|) ̅+|Δv ̅|
x=u.v x ̅ =u ̅.v ̅ Δ x ̅= x ̅ (|(Δ u ̅)/u ̅ |+|(Δ v ̅)/v ̅ |)
x=u/v x ̅ =u ̅/v ̅ Δ x ̅= x ̅ (|(Δ u ̅)/u ̅ |+|(Δ v ̅)/v ̅ |)
x=ua x ̅ =u ̅^a Δ x ̅=x ̅ |a (Δ u ̅)/u ̅ |
x=ln u x ̅ =ln( u) ̅ Δ x ̅=(Δ u ̅)/u ̅
x=eu x ̅ =e^u ̅ Δ x ̅= x ̅ Δ u ̅
x=a cos bu x ̅ = a cos bu ̅ Δ x ̅=|-Δu ̅ ab sin bu ̅|
x=a sin bu x ̅ = a sin bu ̅ Δ x ̅=|Δu ̅ ab cos bu ̅|
360o = 2 π rad  1o = 2π rad/ 360o

i Xi ΔXi (ΔXi)2
1 X1 X1-X ̅ (X1-X ̅)2 = (X12 – 2X1(X ) ̅+(X ) ̅2)
2 X2 X2-X ̅ (X2-X ̅)2 = (X22 – 2X2(X ) ̅+(X ) ̅2)
… …
n Xn Xn-X ̅ (Xn-X ̅)2 = (Xn2 – 2Xn(X ) ̅+(X ) ̅2)
0 ∑▒〖(∆Xi)〗^2 (cari !)
bagaimana mencari x untuk y(x) minimum?
(dy(x))/dx = 0 (d^2 y(x))/(dx^2 ) > 0
Σ d(X12+ X22+…+Xn2)+(-2)(X1+X2+…+Xn)+n((X ) ̅^2)
d(X ) ̅
= 0 + (-2X1-2X2-…-2Xn) + 2n(X ) ̅^
= 0 – 2(ΣXi) + 2n(X ) ̅^
2n(X ) ̅^ = 2(ΣXi)
(X ) ̅^ =(∑▒x_i )/n

Buktikan bahwa Σ Δ xi = 0
X1+X2+…+Xn+n(-(X ) ̅^ )
X1+X2+…+Xn+n(-(∑▒x_i )/n)
X1+X2+…+Xn+n(-((X1+⋯+Xn))/n)
X1+…+Xn – (X1+…+Xn) = 0

Program Standar Deviasi
1. Hidupkan kalkulator
2. Pilih Program SD
3. Masukkan Data, lakukan sampai semua data masuk
4. Tanyakan banyak data
5. Tanyakan (X ) ̅
6. Tanyakan a atau b
a. σ(n-1) = √((∑▒〖∆Xi〗^2 )/((n-1))) (pada beberapa kalkulator ditulis “s”)
b. σ(n) = √((∑▒〖∆Xi〗^2 )/((n))) (pada beberapa kalkulator ditulis “σ”)
6. Hitung a atau b
a. Δx ̅ = (σ(n-1))/√n
b. Δx ̅ = (σ(n))/√(n-1)
7. Bulatkan hasil menjadi 1 angka berarti
8. (X ) ̅ MENYESUAIKAN

 

Contoh soal:
i = (22,03 + 0,2)
r = (14,45 + 0,2)
n1= 1,000
n2=(n1. sin i)/sin r  (n2) ̅ = 1.sin i ̅ / sin r ̅ = sin(22,03o) / sin(14,45 o) = 1,503163698
misal:
a=sin i ; b = sin r
a ̅=sin(22,03o) = 0,375092014
∂a/∂i = cos i  Δa ̅= cos i ̅ . Δi ̅ = cos 22,03o . 0,2o . π/〖180〗^o = 0,003235797
b=sin r
b ̅=sin(14,45o) = 0,24953504
∂b/∂r = cos r  Δb ̅= cos r ̅ . Δr ̅ = cos 14,45o . 0,2o . π/〖180〗^o = 0,003380234
n = a/b 〖((Δ n ̅)/n ̅ )〗^ = √(〖((Δ a ̅)/a ̅ )〗^2+〖((Δ b ̅)/b ̅ )〗^2 )  Δ n ̅=n ̅√(〖((Δ a ̅)/a ̅ )〗^2+〖((Δ b ̅)/b ̅ )〗^2 )
= 1,503163698√(〖(0,003235797/0,375092014)〗^2+〖(0,003380234/0,24953504)〗^2 )
= 0,02414050854
n = n ̅ + Δ n ̅ = (1,50 + 0,02)

Pengukuran tak langsung satu kali
Misalkan yang akan diukur adalah
x = f(u, v, . . . .)
u, v, . . . diukur langsung satu kali sehingga diperoleh
u = u ̅ + u ̅v = v ̅ + v ̅
x = x ̅ + x ̅
x ̅ = f(u ̅, (v,) ̅ . . .)
x̅( f)/( u)u ̅( f )/( v)v ̅
Contoh
1. q = x + …+ z – (u + … + w)
q ̅ = (x ) ̅ + . . .( z) ̅ – (u ̅ + . . . + w ̅)
q ̅(x ) ̅ ( z) ̅ u ̅ w ̅
q=Bxdenganadalah tetapan tanpa ketidaktepatan
q ̅ = Bx ̅
q ̅ x ̅

q=x^n
δq/(|q ̅|)=|n|δx/(|x ̅|)

Pengukuran taklangsung berulang-ulang ( N kali)
Misalkan yang akan diukur adalah
x = f(u, v, . . . .)
u, v, . . . diukur langsung N kali sehingga diperoleh
u = u ̅ + u ̅v = v ̅ + v ̅
x = x ̅ + x ̅ dengan x ̅ = f(u ̅, (v,) ̅ . . .) dan
x̅√( (( f)/( u)  u ̅ )(( f)/( u)  u ̅ )+ (( f )/( v) v ̅ ) (( f )/( v) v ̅ ) )
Contoh:
1. q = x + …+ z – (u + … + w)
q ̅ = (x ) ̅ + . . .( z) ̅ – (u ̅ + . . . + w ̅)
q ̅(x ̅ )z ̅u ̅w ̅)2 }0,5
q=Bxdenganadalah tetapan tanpa ketidaktepatan
q ̅ = Bx ̅
q ̅ x ̅
q=x^n
δq/(|q ̅|)=|n|δx/(|x ̅|)
4. Ketidakpastian dalam Cosine
Misalkan kita telah mengukur suatu sudut θ sebagai
θ = (20 ± 3)o
dan bahwa kita ingin mencari cos θ. Perkiraan terbaik kami cos θ, tentu saja, cos 20° = 0,94, dan menurut (3.23), ketidakpastian adalah
δ(cos⁡θ )=|dcosθ/dθ|δθ
=|sinθ| δθ(dalam rad)
Kami telah menunjukkan bahwa δθ harus dinyatakan dalam radian, karena turunan dari cos θ – sin θ hanya jika dinyatakan dalam radian. Oleh karena itu, kita menulis ulang δθ = 3° sebagai δθ = 0,05 rad, kemudian δ(cosθ)=〖(sin20〗^o) x 0,05⁡
=0,34 x 0,05=0,02
Contoh: Percepatan sebuah Keranjang
Jika jarak antara fotosel adalah s, v22 = v12 + 2as menyiratkan bahwa
a=(〖v_2〗^2-〖v_1〗^2)/2s
(l^2/2s)(1/〖t_2〗^2 -1/〖t_1〗^2 )
Menggunakan formula ini dan nilai yang terukur dari 1, s, t1, dan t2, kita dapat dengan mudah menemukan percepatan diamati dan ketidakpastiannya
l = (5,00 ± 0,05) cm (1%)
s = (100,0 ± 0,2) cm (0,2)%)
t1 = (0,054 ± 0,001) s (2%)
t2 = (0,031 ± 0,001) s (3%)
Dari nilai-nilai ini, kita dapat langsung menghitung faktor pertama dalam (3.33) sebagai l2/2s = 0,125 cm. Karena ketidakpastian fraksi 1 dan s adalah 1% dan 0,2%, yang di l2/2s adalah
(ketidakpastian fraksi l^2/2s)=√((2〖δl/l)〗^2+(〖δs/s)〗^2 )
=√(〖(2 x 1%)〗^2+〖(0,2%)〗^2 )=2%
(Perhatikan bagaimana ketidakpastian dalam s tidak membuat kontribusi yang cukup dan bisa saja diabaikan). Oleh karena itu,
l^2/2s=0,125 cm ±2%
Karena ketidakpastian pecahan di t1 adalah 2%, dalam l/t12 adalah 4%. Jadi, karena t1 = 0,054 s,
l^2/〖t_1〗^2 =(343 ±14) s^(-2)
Dengan cara yang sama, ketidakpastian pecahan di l/t22 adalah 6 % dan
l^2/〖t_2〗^2 =(1041 ±62) s^(-2)
Pengurangan ini (dan menggabungkan kesalahan dalam kuadratur), kita menemukan
1/〖t_2〗^2 -1/〖t_1〗^2 =(698±64) s^(-2) (atau 9%)
Akhirnya, a=(0,125 cm ±2%) x (698 s^(-2)±9%)
=87,3 cm/s^2±9%
atau
a=(87±8) cm/s^2